【密码学】密码学数学基础：群的定义

一、群的定义

在密码学中，群（Group）的概念是从抽象代数借用来的，它是一种数学结构，通常用于描述具有特定性质的运算集合。

群定义中的几个关键要素：

集合：首先，群是由一系列元素组成的集合，通常记作 𝐺
二元运算：群中存在一个闭合的二元运算，通常用 ⋅ 或 + 表示，这个运算是对群中任意两个元素 𝑎 和 𝑏 定义的，其结果仍然是群 𝐺 中的一个元素，即 𝑎⋅𝑏∈𝐺。在密码学中，这个运算通常是某种形式的加法或乘法，但也可以是更复杂的运算，只要满足群的其他条件即可
封闭性：群中的二元运算对所有群内元素都是封闭的，即如果 𝑎 和 𝑏 都属于 𝐺，那么 𝑎⋅𝑏 也一定属于 𝐺
结合律：群中的二元运算遵循结合律，即对于所有 𝑎,𝑏,𝑐∈𝐺，有 (𝑎⋅𝑏)⋅𝑐=𝑎⋅(𝑏⋅𝑐)
单位元：群中存在一个特殊的元素 𝑒e（也称为单位元或恒等元），对于群中任意元素 𝑎，有 𝑎⋅𝑒=𝑒⋅𝑎=𝑎
逆元：对于群中每一个元素 𝑎，存在另一个元素 𝑏（称为 𝑎 的逆元），使得 𝑎⋅𝑏=𝑏⋅𝑎=𝑒，其中 𝑒 是群的单位元

【注】如果一个集合只满足封闭性和结合律，可以称这个它为半群。

全体整数Z对于通常的加法成一个群，这个群称为整数加群，在整数加群中，单位元是 $0$ ， $a$ 的逆元是 $-a$ ，同样全体有理数集合 $Q$ ，全体实数集合 $R$ ，全体复数集合 $C$ 对加法也构成群。

全体非零实数 $R^*$ 对通常的乘法构成一个群，全体正实数 $R^+$ 对通常的乘法也构成一个群。

模正整数n的最小非负完全剩余系 $Z_n$ ，对于模 $n$ 的加法构成一个群，这个群称为整数模 $n$ 加法群，其单位元为 $0$ ， $a$ 的逆元是 $n-a$

若群G中只含有有限个元素，则称群G为有限群；若群G中含有无限多个元素，则称群G为无限群。一个有限群G中的元素个数称为群的阶，记为 $\left | G \right |$

上例子中的整数加法群和非零实数乘法群是无限群，而整数模n加法群是有限群。

定义：如果群G上的运算还满足交换律，即对于群G中的任意元素 $a,b\in G$ 都有

$ab=ba$

则称群G为交换群（又叫Abel群或阿贝尔群）

举例：整数加法群是一个交换群；有理数乘法群也是一个交换群；

定义：如果一个有限群 𝐺 称为循环群，那么存在 𝐺 中的一个元素 𝑔，使得 𝐺 中的每一个元素都可以表示为 𝑔 的幂次，即对于 𝐺 中的任一元素 𝑥，存在一个整数 𝑛 使得 $x=g^n$ 。这里 𝑔 被称为 𝐺 的一个生成元。

我的理解：循环群是一种特殊的抽象代数结构，它满足群的定义，同时还具有一个关键特性：群中存在一个元素，通过其自身的幂次运算可以生成群中的所有其他元素。这个元素被称为群的生成元。

举例：

模 𝑛 加法群：考虑整数集 $\mathbb{Z}_n=\{0,1,2,...,n-1\}$ 上的加法运算（这里的加法是模 𝑛 加法），如果 𝑛 是质数，则 $\mathbb{Z}_n$ 构成一个循环群，且存在一个生成元 𝑔，使得 $\mathbb{Z}_n$ 中的每个元素都可以表示为 𝑔 的幂次（模 𝑛 运算下）。
模 𝑛 乘法群：考虑集合 $\mathbb{Z}_n^*=\{ a\in \mathbb{Z}_n: gcd(a,n)=1 \}$ ，即模 𝑛 下与 𝑛 互质的所有整数构成的集合，当 𝑛 是质数时， $\mathbb{Z}_n^*$ 构成一个循环群，且存在生成元。