【数据结构】详解堆

一、堆的概念

堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。堆是非线性数据结构，相当于一维数组，有两个直接后继。
如果有一个关键码的集合K = { k₀，k₁，k₂ ，k₃ ，…，kₙ₋₁ }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储，在一个一维数组中，并满足：Kᵢ <= K₂ *ᵢ₊₁ 且 Kᵢ <= K₂ *ᵢ₊₂ (Kᵢ >= K₂ *ᵢ₊ ₁ 且 Kᵢ >= K₂ *ᵢ₊₂ ) i = 0，1，2…，则称为小堆 (或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

【大根堆和小根堆】：

根结点最大的堆叫做大根堆，树中所有父亲都大于或等于孩子。

根结点最小的堆叫做小根堆，树中所有父亲都小于或等于孩子。

共同特点：父亲 =（孩子-1）/2

大堆小堆有什么特点呢？

我们购物平台中，我想选择销量大的前k家，这个时候，我们不需要对所有的数据进行排序，只需要取出前k家最大的值就可以。而最值常常出现在0号位，我们就可以利用Topheap解决，大大减少了我们的时间复杂度；

特点：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
每层节点个数为2^(h-1)个

二、堆的创建

1、头文件的声明：

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}Heap;

void HeapInit(Heap* hp);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);

void swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);

void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

2、代码实现：

2.1堆的初始化与堆的摧毁

//堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp) {
	assert(hp);
	hp->a = NULL;
	hp->capacity = hp->size = 0;
}

//堆的摧毁
void HeapDestory(Heap* hp) {
	assert(hp);
	free(hp->a);
	hp->a = NULL;
	hp->capacity = hp->size = 0;
}

2.2堆的插入

下面给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆( 包括大堆和小堆) ，才能调整。

具体步骤如下：

1.将新插入的元素放置在堆的最后一个位置（通常是数组的末尾）。

2.将该元素与其父节点进行比较。

3.若该元素大于（或小于，具体根据堆是最大堆还是最小堆而定）其父节点的值，则交换该元素和其父节点的位置。

4.继续向上对比和交换，直到满足堆的性质或达到堆的根节点。

// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x) {
	assert(hp);
    //与顺序表的开辟类似
	if (hp->size == hp->capacity)
	{
		int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;
        //使用三目操作符开辟空间大小
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}

		hp->a = tmp;
		hp->capacity = newcapacity;
	}
	hp->size++;
	hp->a[hp->size] = x;
//向上调整法，因为每次的插入是在数组末尾
//每次插入需要与父亲比较大小交换
	AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);
}

2.2.1向上调整法

//向上调整法，因为每次的插入是在数组末尾
//每次插入需要与父亲比较大小交换
AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);

我们每次插入末尾的位置，相当于孩子，我们需要找到该孩子的父亲与之比较大小，这个时候就要利用堆的特点：父亲 =（孩子-1）/2
向上调整法：

void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {
	int parent = (child - 1) / 2;

	while (child > 0) {
		if (a[child] < a[parent]) {
         //根据要求设置大端小端
			swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else{
			break;
		}
	}
}

交换函数：

因为在堆的实现中我们会经常使用父子交换

void swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2) {
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
    //这里也可以回想前面学习
    //不使用第三个变量，利用换位与实现交换
}

2.4堆的删除

如果我们直接删除堆顶数据，将数组数据整体向前移动，这样会导致堆的乱序；

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

2.4.1向下调整法

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent) {
    //注:这里的parent为0，而数组a则是首尾交换的
	int child = parent * 2 + 1;
	//假设左孩子小

	while (child < n) {
        //while循环直到超出数组长度
		//左孩子大
		if (a[child] > a[child + 1]) {
			child++;
		}
		if (a[child]>a[parent]) {
			swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
	}
}

这样我们只需要完成交换，传指就可以了

void HeapPop(Heap* hp) {
	assert(hp);
	assert(hp->size);
	swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);
	hp->size--;

	AdjustDown(hp->a, hp->size, 0);
}

3、总结

升序：建大堆

降序：建小堆

（1）升序：建大堆

【思考】排升序，建小堆可以吗？-- 可以（但不推荐）。

首先对 n 个数建小堆，选出最小的数，接着对剩下的 n-1 个数建小堆，选出第二小的数，不断重复上述过程。

【时间复杂度】建 n 个数的堆时间复杂度是 O(N)，所以上述操作时间复杂度为 O(N²)，效率太低，关系变得杂乱，尤其是当数据量大的时候，效率就更低。同时堆的价值也没有被体现出来，这样不如用直接排序。

排升序，因为数字依次递增，需要找到最大的数字，得建大堆。

首先对 n 个数建大堆。将最大的数（堆顶）和最后一个数交换，把最大的数放到最后。前面 n-1 个数的堆结构没有被破坏（最后一个数不看作在堆里面的），根节点的左右子树依然是大堆，所以我们进行一次向下调整成大堆即可选出第 2 大的数，放到倒数第二个位置，然后重复上述步骤。

【时间复杂度】：建堆时间复杂度为 O(N)，向下调整时间复杂度为 O(log₂N)，这里我们最多进行N-2 次向下调整，所以堆排序时间复杂度为 O(N*log₂N)，效率相较而言是很高的。

因为在堆的实现中我们会经常使用父子交换

void swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2) {
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
    //这里也可以回想前面学习
    //不使用第三个变量，利用换位与实现交换
}

我相信接下来对你来说简直轻而易举

// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

4.1取堆顶数据

HPDataType HeapTop(Heap* hp) {
	assert(hp);
	assert(hp->size);
	return hp->a[0];
}

4.2 堆的数据个数

int HeapSize(Heap* hp) {
	assert(hp);
	assert(hp->size);
	return hp->size;
}

4.3堆的判空

int HeapEmpty(Heap* hp) {
	assert(hp);
	assert(hp->size>0);
	//为NULL，返回1，不为NULL，返回0；
	return hp->size == 0 ? 1 : 0;
}

5、堆的时间复杂度

5.1建堆的时间复杂度

5.1.1向下调整法建堆

// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x) {
	assert(hp);
    //与顺序表的开辟类似
	if (hp->size == hp->capacity)
	{
		int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;
        //使用三目操作符开辟空间大小
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(hp->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}
 
		hp->a = tmp;
		hp->capacity = newcapacity;
	}
	hp->size++;
	hp->a[hp->size] = x;
//向下调整法，因为每次的插入是在数组末尾
//每次插入需要与父亲比较大小交换
	AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);
}

因此：建堆的时间复杂度为O(N)。

等比数列求和公式：
建堆要从倒数第一个非叶子节点开始调整，也即是从倒数第二层开始调，可得出时间复杂度公式：T ( n ) = ∑ ( 每层节点数 ∗ ( 堆的高度 − 当前层数 ) )
建堆的时间复杂度为O(N)。（向下调整算法）

为何使用向下调整建堆而不使用向上调整建堆

5.1.2向上调整法建堆

可以看出结点数多的层, 调整次数也多, 结点数少的层, 调整次数少, 时间复杂度为O(N*logN), 所以一般建堆都采用向下调整建堆法.

6、TOPK问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前十、世界500强、销量最高的前十、富豪榜等等

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能

数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

前k个最大的元素，则建小堆

前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

我们常常会想到冒泡排序( O(N^2) )
对于少量的数据是可以拿捏的，但面对100000的数据就显得有点吃力，而堆排序O(N*logN)则觉得轻而易举

7、堆排序

void HeapSort(int* a, int n)
{
	// 降序，建小堆
	// 升序，建大堆
	// 向上调整建堆 O(N*logN)
	/*for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(a, i);
	}*/
	// 向下调整建堆 O(N)
	for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	// O(N*logN)
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown(a, end, 0);
		--end;
	}
}

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